Standart sapma hesaplayıcı

İstatistiksel çalışmalarda standart sapma (RMS) gibi bir değer sıklıkla kullanılır. Örnek değerlerin ortalamadan dağılımını yüksek doğrulukla belirlemenizi sağlar.

Ana hesaplama yöntemi varyansın karekökünü almaktır. Dağılım nedir? Tanım gereği bu, sapmaların karelerinin aritmetik ortalamasıdır. Varyansı şu şekilde bulabilirsiniz:

• Verilen örneğin aritmetik ortalamasını hesaplayın (değerlerini toplayın ve sayıya bölün).
• Sonuçta elde edilen aritmetik ortalamayı örnek değerlerin her birinden çıkarın.
• Sonuçtaki farkların karesini alın.

Daha sonra bu karelerin aritmetik ortalaması toplanıp sayıya bölünerek hesaplanır. Nihai sonuç, karekök alarak standart sapmayı elde edebileceğiniz varyanstır.

Varyans aracılığıyla standart sapmanın hesaplanmasına bir örnek

5 değerden oluşan bir veri dizisinde standart sapmayı bulmanız gereken bir durumu ele alalım. Örneğin beş uzunluktan: 600, 470, 170, 430 ve 300 santimetre. İlk olarak aritmetik ortalamalarını belirliyoruz:

• (600 + 470 + 170 + 430 + 300) / 5 = 394.

Daha sonra sırasıyla beş değerin her biri için uzunluk sapmasını hesaplıyoruz:

• 600 − 394 = 206.
• 470 − 394 = 76.
• 170 - 394 = -224.
• 430 − 394 = 36.
• 300 - 394 = -94.

Bu sonuçlarla varyansı belirleyebilirsiniz:

• (2062 + 762 + (−224) × 2 + 362 + (−94) × 2) / 5 = 21704.

Buna göre sigma (σ) harfiyle gösterilen standart sapma, varyanstan tek adımda bulunur:

• σ = √21704 = 147,32.

Beş uzunluğun aritmetik ortalaması 394 santimetre olduğundan, bunlar için normal (anormal değil) değerler 147,32 yukarı ve aşağı aralığında değerler olacaktır. Yani 246,68'den 541,32'ye.

Böylece beş değerden oluşan bir dizide iki anormallik tespit ettik: 600 ve 170 santimetre. 246.68-541.32 aralığına girmezler ve bu diziyi karakterize edemezler.

Seçimlerle çalışma

Önceki örnekte sınırlı sayıda değeri dikkate aldık ancak örnek hesaplama farklı görünüyor. Diziden alınan örnek değerlerin varyansını dikkate alırsak, bunların toplamını (n) sayısına değil, n−1'e bölmemiz gerekir. Aynı beş uzunluğu aldığımızda aşağıdaki sonucu elde ederiz:

• (2062 + 762 + (−224) × 2 + 362 + (−94) × 2) / (5 - 1) = 27130.

27130'un değeri 21704'ten çok daha büyük olduğundan standart sapma daha geniş bir aralıkta olacaktır:

• σ = √27130 = 164,71.

Dizinin tüm değerlerini bilmediğimizden ve yalnızca onun ayrı örneğiyle çalıştığımızdan, varyans hesaplanırken düzeltme amacıyla paydadaki bir çıkarılır.

Standart sapma neden kullanılıyor

İlk bakışta, değerlerin ortalama yayılımını elde etmek, varyansı toplayıp sayıya bölerek (modüllü veya modülsüz) hesaplarken çok daha kolay olabilir. Ancak bu durumda anormalliklerin ortaya çıkma olasılığı yüksektir. COEX'in önemini vurgulayan açıklayıcı bir örneği ele alalım.

Verilen: Dört dizi değeri: 4, −4, −4 ve 4. Görev: Bu değerlerin standart sapmasını belirleyin.

Bunları toplayıp sayıya bölersek sıfır değerini elde ederiz:

• (4 + 4 − 4 − 4) / 4 = 0.

Mutlak değerlerini (modüllerini) almaya çalışalım ve şunu elde edelim:

• (4 + 4 + |−4| + |−4|) / 4 = 4.

Cevap doğru olamayacak kadar basit. Bu yüzden kontrol etmek için çok daha geniş bir dağılıma sahip bir sayı dizisini ele alalım: 7, 1, -6 ve -2. Modüllerini toplayıp sayıya bölüyoruz ve aynı sonucu elde ediyoruz:

• (7 + 1 + |−6| + |−2|) / 4 = 4.

Anormallik (tutarsızlık) çıplak gözle görülebildiği için kanıtlanmış bir araç kullanıyoruz: standart sapma, yalnızca toplama ve bölmeyi değil aynı zamanda kare alma ve kök çıkarmayı da ifade ediyor:

• σ = √((42 + 42 + (−4) × 2 + (−4) × 2) / 4 = 4.
• σ = √((72 + 12 + (−6) × 2 + (−2) × 2) / 4 = 4,74.

Artık fark görülebiliyor ve iki veri dizisindeki değerlerin önceden aynı olamayacak şekilde dağılımı görsel olarak gösteriliyor. Bu nedenle, güvenilirlik ve yüksek doğruluk nedeniyle, dizileri ve örnekleri sayarken ve çeşitli araştırma alanlarında standart sapma tercih edilir.

Standart sapmanın geçerli olduğu yerler

Standart sapma çoğu zaman ekonomi ve üretim alanlarında kullanılır. Örneğin, belirli malzemelerle çalışan bir işletmeyi ele alırsanız bunların sayısı hiçbir zaman aynı olmayacaktır.

Yani, gerçek miktar her zaman beklenenden farklı olacaktır: RMS kullanılarak belirlenebilecek aralıkta. Beklenen/standart miktardan sapmalar çeşitli faktörlerden kaynaklanabilir:

• maddi hasar;
• düşük kaliteleri (evlilik);
• yanlış ölçümler;
• bozuk teknik;
• malzemelerin eksik veya fazla sipariş edilmesi;
• personel eksikliği;
• Yanlış ölçü birimlerinin kullanılması.

Bu faktörler bir araya geldiğinde şirketin fiilen elinde olması, örneğin beklenen 100 ton değil, 83 ton veya 110 ton malzemeye sahip olmasına yol açabilir. Ve bu yayılma, standart sapmanın hesaplanması yöntemi kullanılarak önceden belirlenebilir.

Aynı durum COEX'in kullanıldığı diğer alanlar için de geçerlidir: spor müsabakaları, kamuoyu yoklamaları, biyolojik araştırmalar, finansal hesaplamalar vb. Satın alma/satış ve genel gider farkı, malzeme farkı, işçilik farkı, verimlilik farkı. Bu analizlerin tümü RMS kullanır.

Daha önce bu tür hesaplamalar manuel olarak (veya hesap makinelerinde) yapılıyorduysa, bugün bu görev, standart sapmaları saniyeden çok daha kısa sürede belirleyen bilgisayar teknolojisine devredilmiştir.