Calculator voor standaardafwijking

In statistische onderzoeken wordt vaak een waarde als de standaarddeviatie (RMS) gebruikt. Hiermee kunt u met hoge nauwkeurigheid de spreiding van monsterwaarden ten opzichte van het gemiddelde bepalen.

De belangrijkste berekeningsmethode is het nemen van de wortel van de variantie. Wat is spreiding? Per definitie is dit het rekenkundig gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen. U kunt de variantie als volgt vinden:

• Bereken het rekenkundig gemiddelde van het gegeven monster (tel hun waarden bij elkaar op en deel door het getal).
• Trek het resulterende rekenkundige gemiddelde af van elk van de voorbeeldwaarden.
• Maak de resulterende verschillen kwadratisch.

Vervolgens wordt het rekenkundig gemiddelde van deze vierkanten berekend door ze op te tellen en te delen door het getal. Het eindresultaat is de variantie, waaruit u de standaarddeviatie kunt berekenen door de vierkantswortel te nemen.

Een voorbeeld van het berekenen van de standaardafwijking via de variantie

Laten we een situatie bekijken waarin u de standaarddeviatie moet vinden in een gegevensarray van vijf waarden. Bijvoorbeeld uit vijf lengtes: 600, 470, 170, 430 en 300 centimeter. Eerst bepalen we hun rekenkundig gemiddelde:

• (600 + 470 + 170 + 430 + 300) / 5 = 394.

Vervolgens berekenen we achtereenvolgens de lengteafwijking voor elk van de vijf waarden:

• 600 − 394 = 206.
• 470 − 394 = 76.
• 170 - 394 = -224.
• 430 − 394 = 36.
• 300 - 394 = -94.

Met deze resultaten kun je de variantie bepalen:

• (2062 + 762 + (−224) × 2 + 362 + (−94) × 2) / 5 = 21704.

Dienovereenkomstig wordt de standaarddeviatie, aangegeven met de letter sigma (σ), in één stap uit de variantie gevonden:

• σ = √21704 = 147,32.

Aangezien het rekenkundig gemiddelde van vijf lengtes 394 centimeter is, zullen normale (niet abnormale) waarden voor hen waarden zijn in het bereik van 147,32 op en neer. Dat wil zeggen, van 246,68 naar 541,32.

Dus in een array van vijf waarden detecteren we twee afwijkingen: 600 en 170 centimeter. Ze vallen niet binnen het interval 246.68-541.32 en kunnen deze array niet karakteriseren.

Werken met selecties

In het vorige voorbeeld hebben we gekeken naar een eindig aantal waarden, maar de berekening voor het voorbeeld ziet er anders uit. Als we de variantie van de voorbeeldwaarden uit de array beschouwen, moeten we hun som niet delen door het getal (n), maar door n−1. Als we dezelfde vijf lengtes nemen, krijgen we het volgende resultaat:

• (2062 + 762 + (−224) × 2 + 362 + (−94) × 2) / (5 - 1) = 27130.

De waarde van 27130 is veel groter dan 21704, dus de standaardafwijking zal in een groter bereik liggen:

• σ = √27130 = 164,71.

Bij het berekenen van de variantie wordt één in de noemer afgetrokken voor correctie, omdat we niet alle waarden van de array kennen en alleen met de afzonderlijke steekproef werken.

Waarom wordt de standaarddeviatie gebruikt

Op het eerste gezicht kan het verkrijgen van de gemiddelde spreiding van waarden veel eenvoudiger zijn bij het berekenen van de variantie door ze op te tellen en te delen door het aantal (met of zonder modules). Maar in dit geval is de kans op het optreden van afwijkingen groot. Laten we een illustratief voorbeeld bekijken dat het belang van COEX benadrukt.

Gegeven: vier arraywaarden: 4, −4, −4 en 4. Taak: Bepaal de standaarddeviatie van deze waarden.

Als we ze gewoon bij elkaar optellen en delen door het getal, krijgen we de waarde nul:

• (4 + 4 − 4 − 4) / 4 = 0.

Laten we proberen hun absolute waarden (modules) te nemen, en we krijgen het volgende:

• (4 + 4 + |−4| + |−4|) / 4 = 4.

Het antwoord is te simpel om waar te zijn, dus laten we om dit te controleren een reeks getallen nemen met een veel grotere spreiding: 7, 1, -6 en -2. We voegen hun modules toe, delen door het aantal en krijgen hetzelfde resultaat:

• (7 + 1 + |−6| + |−2|) / 4 = 4.

De anomalie (inconsistentie) is met het blote oog zichtbaar, dus gebruiken we een beproefd hulpmiddel: de standaarddeviatie, die niet alleen optelling en deling inhoudt, maar ook kwadrateren en wortelextractie:

• σ = √((42 + 42 + (−4) × 2 + (−4) × 2) / 4 = 4.
• σ = √((72 + 12 + (−6) × 2 + (−2) × 2) / 4 = 4,74.

Nu is het verschil zichtbaar en wordt de spreiding van waarden in twee data-arrays, die a priori niet hetzelfde kunnen zijn, visueel weergegeven. Het is om deze reden - vanwege de betrouwbaarheid en hoge nauwkeurigheid - dat de standaardafwijking de voorkeur heeft bij het tellen van arrays en monsters, en in verschillende onderzoeksgebieden.

Waar de standaardafwijking van toepassing is

De standaarddeviatie wordt meestal gebruikt op het gebied van economie en productie. Als je bijvoorbeeld een onderneming neemt die met bepaalde materialen werkt, zal hun aantal nooit hetzelfde zijn.

Dat wil zeggen dat de werkelijke hoeveelheid altijd zal afwijken van de verwachte: in het interval dat met RMS kan worden bepaald. Afwijkingen van de verwachte/standaard hoeveelheid kunnen door een aantal factoren veroorzaakt worden:

• materiële schade;
• hun lage kwaliteit (huwelijk);
• onjuiste metingen;
• gebroken techniek;
• onderbestelling of overbestelling van materialen;
• gebrek aan personeel;
• Onnauwkeurige maateenheden gebruiken.

De combinatie van deze factoren kan ertoe leiden dat het bedrijf daadwerkelijk niet over bijvoorbeeld de verwachte 100 ton materiaal beschikt, maar over 83 ton of 110 ton. En deze spreiding kan vooraf worden bepaald - met behulp van de methode voor het berekenen van de standaardafwijking.

Hetzelfde geldt voor alle andere gebieden waar COEX wordt gebruikt: sportcompetities, opiniepeilingen, biologisch onderzoek, financiële berekeningen, enzovoort. Inkoop-/verkoop- en overheadvariantie, materiaalvariantie, arbeidsvariantie, efficiëntievariantie: al deze analyses maken gebruik van RMS.

Werden dergelijke berekeningen vroeger handmatig (of op rekenmachines) uitgevoerd, tegenwoordig wordt deze taak toegewezen aan de computertechnologie, die de standaardafwijkingen in een fractie van een seconde bepaalt.