სტანდარტული გადახრის კალკულატორი

სტატისტიკურ კვლევებში ხშირად გამოიყენება ისეთი მნიშვნელობა, როგორიცაა სტანდარტული გადახრა (RMS). ის საშუალებას გაძლევთ მაღალი სიზუსტით განსაზღვროთ ნიმუშის მნიშვნელობების გავრცელება მისი საშუალოდან.

გაანგარიშების ძირითადი მეთოდი არის დისპერსიის კვადრატული ფესვის აღება. რა არის დისპერსია? განმარტებით, ეს არის კვადრატული გადახრების საშუალო არითმეტიკული. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ვარიაცია შემდეგნაირად:

• გამოთვალეთ მოცემული ნიმუშის საშუალო არითმეტიკული (დაამატეთ მათი მნიშვნელობები და გაყავით რიცხვზე).
• გამოაკლეთ მიღებული საშუალო არითმეტიკული თითოეული ნიმუშის მნიშვნელობას.
• შეადგინეთ მიღებული განსხვავებები კვადრატში.

შემდეგ ამ კვადრატების საშუალო არითმეტიკული გამოთვლა ხდება მათი მიმატებით და რიცხვზე გაყოფით. საბოლოო შედეგი არის განსხვავება, საიდანაც შეგიძლიათ მიიღოთ სტანდარტული გადახრა კვადრატული ფესვის აღებით.

სტანდარტული გადახრის გამოთვლის მაგალითი დისპერსიის მეშვეობით

მოდით განვიხილოთ სიტუაცია, როდესაც თქვენ უნდა იპოვოთ სტანდარტული გადახრა 5 მნიშვნელობის მონაცემთა მასივში. მაგალითად, ხუთი სიგრძიდან: 600, 470, 170, 430 და 300 სანტიმეტრი. პირველ რიგში, ჩვენ განვსაზღვრავთ მათ საშუალო არითმეტიკას:

• (600 + 470 + 170 + 430 + 300) / 5 = 394.

შემდეგ ჩვენ ვიანგარიშებთ სიგრძის გადახრას ხუთივე მნიშვნელობიდან რიგრიგობით:

• 600 − 394 = 206.
• 470 − 394 = 76.
• 170 - 394 = -224.
• 430 − 394 = 36.
• 300 - 394 = -94.

ამ შედეგებით შეგიძლიათ განსაზღვროთ დისპერსიული:

• (2062 + 762 + (−224) × 2 + 362 + (−94) × 2) / 5 = 21704.

შესაბამისად, სტანდარტული გადახრა, რომელიც აღინიშნება ასო სიგმა (σ), გვხვდება დისპერსიიდან ერთ საფეხურზე:

• σ = √21704 = 147.32.

რადგან ხუთი სიგრძის საშუალო არითმეტიკული არის 394 სანტიმეტრი, მათთვის ნორმალური (არა არანორმალური) მნიშვნელობები იქნება მნიშვნელობები 147.32 დიაპაზონში ზემოთ და ქვემოთ. ანუ 246.68-დან 541.32-მდე.

ამგვარად, ხუთი მნიშვნელობის მასივში ჩვენ აღმოვაჩენთ ორ ანომალიას: 600 და 170 სანტიმეტრს. ისინი არ ხვდებიან 246.68-541.32 ინტერვალში და ვერ ახასიათებენ ამ მასივს.

მორჩევებთან მუშაობა

წინა მაგალითში ჩვენ განვიხილეთ მნიშვნელობების სასრული რაოდენობა, მაგრამ ნიმუშის გაანგარიშება სხვაგვარად გამოიყურება. თუ გავითვალისწინებთ მასივიდან აღებული ნიმუშის მნიშვნელობების განსხვავებას, მათი ჯამი უნდა გავყოთ არა რიცხვზე (n), არამედ n−1-ზე. იგივე ხუთი სიგრძის გათვალისწინებით, მივიღებთ შემდეგ შედეგს:

• (2062 + 762 + (−224) × 2 + 362 + (−94) × 2) / (5 - 1) = 27130.

27130-ის მნიშვნელობა გაცილებით დიდია ვიდრე 21704, ამიტომ სტანდარტული გადახრა იქნება უფრო ფართო დიაპაზონში:

• σ = √27130 = 164.71.

დისპერსიის გამოთვლისას, მნიშვნელში ერთი გამოკლებულია კორექტირებისთვის, რადგან ჩვენ არ ვიცით მასივის ყველა მნიშვნელობა და ვმუშაობთ მხოლოდ მის ცალკეულ ნიმუშზე.

რატომ გამოიყენება სტანდარტული გადახრა

ერთი შეხედვით, მნიშვნელობების საშუალო გავრცელების მიღება ბევრად უფრო ადვილია დისპერსიის გამოთვლისას მათი დამატებით და რიცხვზე გაყოფით (მოდულებით ან მის გარეშე). მაგრამ ამ შემთხვევაში ანომალიების გაჩენის ალბათობა მაღალია. მოდით განვიხილოთ საილუსტრაციო მაგალითი, რომელიც ხაზს უსვამს COEX-ის მნიშვნელობას.

მოცემულია: მასივის ოთხი მნიშვნელობა: 4, −4, −4 და 4. ამოცანა: განსაზღვრეთ ამ მნიშვნელობების სტანდარტული გადახრა.

თუ მათ უბრალოდ დავამატებთ და გავყოფთ რიცხვზე, მივიღებთ ნულის მნიშვნელობას:

• (4 + 4 − 4 − 4) / 4 = 0.

მოდით ვცადოთ ავიღოთ მათი აბსოლუტური მნიშვნელობები (მოდულები) და მივიღებთ შემდეგს:

• (4 + 4 + |−4| + |−4|) / 4 = 4.

პასუხი ზედმეტად მარტივია, რომ იყოს ჭეშმარიტი, ამიტომ შესამოწმებლად, ავიღოთ რიცხვების მასივი ბევრად უფრო დიდი გავრცელებით: 7, 1, -6 და -2. ვამატებთ მათ მოდულებს, ვყოფთ რიცხვზე და ვიღებთ იგივე შედეგს:

• (7 + 1 + |−6| + |−2|) / 4 = 4.

ანომალია (არათანმიმდევრულობა) ჩანს შეუიარაღებელი თვალით, ამიტომ ჩვენ ვიღებთ დადასტურებულ ხელსაწყოს - სტანდარტულ გადახრას, რომელიც გულისხმობს არა მხოლოდ დამატებას და დაყოფას, არამედ კვადრატს და ფესვის ამოღებას:

• σ = √((42 + 42 + (−4) × 2 + (−4) × 2) / 4 = 4.
• σ = √((72 + 12 + (−6) × 2 + (−2) × 2) / 4 = 4,74.

ახლა განსხვავება ჩანს და ვიზუალურად არის ნაჩვენები მნიშვნელობების გავრცელება ორ მონაცემთა მასივში, რომელიც აპრიორი არ შეიძლება იყოს იგივე. სწორედ ამ მიზეზით - საიმედოობისა და მაღალი სიზუსტის გამო - სტანდარტული გადახრა სასურველია მასივების და ნიმუშების დათვლისას და კვლევის სხვადასხვა სფეროში.

სადაც გამოიყენება სტანდარტული გადახრა

ყველაზე ხშირად, სტანდარტული გადახრა გამოიყენება ეკონომიკისა და წარმოების სფეროებში. მაგალითად, თუ თქვენ იღებთ საწარმოს, რომელიც მუშაობს გარკვეულ მასალებთან, მათი რიცხვი არასოდეს იქნება იგივე.

ანუ, ფაქტობრივი რაოდენობა ყოველთვის განსხვავდება მოსალოდნელისგან: ინტერვალში, რომელიც შეიძლება განისაზღვროს RMS-ის გამოყენებით. მოსალოდნელი/სტანდარტული რაოდენობიდან გადახრები შეიძლება გამოწვეული იყოს მრავალი ფაქტორით:

• მატერიალური ზიანი;
• მათი დაბალი ხარისხი (ქორწინება);
• არასწორი გაზომვები;
• გატეხილი ტექნიკა;
• მასალების შეუკვეთა ან გადაჭარბება;
• პერსონალის ნაკლებობა;
• გაზომვის არაზუსტი ერთეულების გამოყენება.

ამ ფაქტორებმა შეიძლება გამოიწვიოს ის ფაქტი, რომ კომპანიას რეალურად აქვს, მაგალითად, არა მოსალოდნელი 100 ტონა მასალა, არამედ 83 ტონა ან 110 ტონა. და ეს გავრცელება შესაძლებელია წინასწარ განისაზღვროს - სტანდარტული გადახრის გამოთვლის მეთოდის გამოყენებით.

იგივე ეხება ნებისმიერ სხვა სფეროს, სადაც COEX გამოიყენება: სპორტული შეჯიბრებები, საზოგადოებრივი აზრის გამოკითხვები, ბიოლოგიური კვლევები, ფინანსური გამოთვლები და ა.შ. შესყიდვა/გაყიდვა და ზედნადები დისპერსიები, მატერიალური დისპერსიები, შრომის ვარიაცია, ეფექტურობის დისპერსიები — ყველა ეს ანალიზი იყენებს RMS-ს.

თუ ადრე ასეთი გამოთვლები ხდებოდა ხელით (ან გამომთვლელ მანქანებზე), დღეს ეს ამოცანა ენიჭება კომპიუტერულ ტექნოლოგიას, რომელიც განსაზღვრავს სტანდარტულ გადახრებს წამის ნაწილად.