Kalkulator standardne devijacije

U statističkim studijama često se koristi vrijednost kao što je standardna devijacija (RMS). Omogućuje vam da s velikom točnošću odredite širenje vrijednosti uzorka od njegovog prosjeka.

Glavna metoda izračuna je vađenje kvadratnog korijena varijance. Što je disperzija? Po definiciji, ovo je aritmetička sredina kvadrata odstupanja. Odstupanje možete pronaći ovako:

• Izračunajte aritmetičku sredinu zadanog uzorka (zbrojite njihove vrijednosti i podijelite s brojem).
• Oduzmite dobivenu aritmetičku sredinu od svake vrijednosti uzorka.
• Postavite dobivene razlike na kvadrat.

Tada se aritmetička sredina tih kvadrata izračunava njihovim zbrajanjem i dijeljenjem s brojem. Konačni rezultat je varijanca iz koje možete dobiti standardnu ​​devijaciju vađenjem kvadratnog korijena.

Primjer izračuna standardne devijacije kroz varijancu

Razmotrimo situaciju u kojoj trebate pronaći standardnu ​​devijaciju u nizu podataka od 5 vrijednosti. Na primjer, od pet duljina: 600, 470, 170, 430 i 300 centimetara. Prvo, određujemo njihovu aritmetičku sredinu:

• (600 + 470 + 170 + 430 + 300) / 5 = 394.

Zatim izračunavamo odstupanje duljine za svaku od pet vrijednosti:

• 600 − 394 = 206.
• 470 − 394 = 76.
• 170 - 394 = -224.
• 430 − 394 = 36.
• 300 - 394 = -94.

S ovim rezultatima možete odrediti varijancu:

• (2062 + 762 + (−224) × 2 + 362 + (−94) × 2) / 5 = 21704.

Prema tome, standardna devijacija, označena slovom sigma (σ), nalazi se iz varijance u jednom koraku:

• σ = √21704 = 147,32.

Budući da je aritmetička sredina pet duljina 394 centimetra, normalne (ne abnormalne) vrijednosti za njih bit će vrijednosti u rasponu od 147,32 gore i dolje. Odnosno, s 246,68 na 541,32.

Dakle, u nizu od pet vrijednosti otkrivamo dvije anomalije: 600 i 170 centimetara. Oni ne spadaju u interval 246.68-541.32 i ne mogu karakterizirati ovaj niz.

Rad s odabirima

U prethodnom smo primjeru uzeli u obzir konačan broj vrijednosti, ali izračun za uzorak izgleda drugačije. Ako uzmemo u obzir varijancu iz uzorka vrijednosti uzetih iz niza, moramo podijeliti njihov zbroj ne s brojem (n), već s n−1. Uzimajući istih pet duljina, dobivamo sljedeći rezultat:

• (2062 + 762 + (−224) × 2 + 362 + (−94) × 2) / (5 - 1) = 27130.

Vrijednost 27130 mnogo je veća od 21704, tako da će standardna devijacija biti u širem rasponu:

• σ = √27130 = 164,71.

Prilikom izračunavanja varijance, jedan u nazivniku se oduzima radi korekcije, budući da ne znamo sve vrijednosti niza i radimo samo s njegovim zasebnim uzorkom.

Zašto se koristi standardna devijacija

Na prvi pogled, dobivanje prosječnog širenja vrijednosti može biti puno lakše kada se izračunava varijanca njihovim zbrajanjem i dijeljenjem s brojem (sa ili bez modula). Ali u ovom slučaju, vjerojatnost pojave anomalija je visoka. Razmotrimo ilustrativni primjer koji naglašava važnost COEX-a.

Zadano: Četiri vrijednosti niza: 4, −4, −4 i 4. Zadatak: Odredite standardnu ​​devijaciju ovih vrijednosti.

Ako ih samo zbrojimo i podijelimo s brojem, dobit ćemo vrijednost nula:

• (4 + 4 − 4 − 4) / 4 = 0.

Pokušajmo uzeti njihove apsolutne vrijednosti (module), i dobit ćemo sljedeće:

• (4 + 4 + |−4| + |−4|) / 4 = 4.

Odgovor je previše jednostavan da bi bio istinit, pa da provjerimo, uzmimo niz brojeva s mnogo većim rasponom: 7, 1, -6 i -2. Zbrojimo njihove module, podijelimo s brojem i dobijemo isti rezultat:

• (7 + 1 + |−6| + |−2|) / 4 = 4.

Anomalija (nedosljednost) vidljiva je golim okom, pa uzimamo provjereni alat - standardnu ​​devijaciju, koja ne podrazumijeva samo zbrajanje i dijeljenje, već i kvadriranje i vađenje korijena:

• σ = √((42 + 42 + (−4) × 2 + (−4) × 2) / 4 = 4.
• σ = √((72 + 12 + (−6) × 2 + (−2) × 2) / 4 = 4,74.

Sada je razlika vidljiva i vizualno se prikazuje širenje vrijednosti u dva niza podataka koji a priori ne mogu biti isti. Upravo iz tog razloga - zbog pouzdanosti i visoke točnosti - standardna devijacija je poželjnija pri brojanju nizova i uzoraka, te u raznim područjima istraživanja.

Gdje se primjenjuje standardna devijacija

Najčešće se standardna devijacija koristi u područjima ekonomije i proizvodnje. Na primjer, ako uzmete poduzeće koje radi s određenim materijalima, njihov broj nikada neće biti isti.

To jest, stvarna količina uvijek će se razlikovati od očekivane: u intervalu koji se može odrediti korištenjem RMS. Odstupanja od očekivane/standardne količine mogu biti uzrokovana nizom čimbenika:

• materijalna šteta;
• njihova niska kvaliteta (brak);
• netočne mjere;
• pokvarena tehnika;
• manje ili prekomjerno naručivanje materijala;
• nedostatak osoblja;
• Korištenje netočnih mjernih jedinica.

U kombinaciji, ovi čimbenici mogu dovesti do činjenice da tvrtka zapravo nema na raspolaganju, primjerice, ne očekivanih 100 tona materijala, već 83 tone ili 110 tona. A taj se raspon može odrediti unaprijed - pomoću metode izračuna standardne devijacije.

Isto se odnosi na bilo koja druga područja u kojima se koristi COEX: sportska natjecanja, ankete, biološka istraživanja, financijski izračuni itd. Varijanca kupnje/prodaje i općih troškova, varijanca materijala, varijanca rada, varijanca učinkovitosti—sve te analize koriste RMS.

Ako su se ranije takvi izračuni izvodili ručno (ili na računskim strojevima), danas je taj zadatak dodijeljen računalnoj tehnologiji koja standardna odstupanja određuje u djeliću sekunde.