मानक विचलन कैलकुलेटर

सांख्यिकीय अध्ययनों में, मानक विचलन (आरएमएस) जैसे मान का अक्सर उपयोग किया जाता है। यह आपको इसके औसत से नमूना मूल्यों के प्रसार को उच्च सटीकता के साथ निर्धारित करने की अनुमति देता है।

मुख्य गणना विधि विचरण का वर्गमूल लेना है। फैलाव क्या है? परिभाषा के अनुसार, यह वर्ग विचलनों का अंकगणितीय माध्य है। आप भिन्नता इस प्रकार पा सकते हैं:

• दिए गए नमूने के अंकगणितीय माध्य की गणना करें (उनके मान जोड़ें और संख्या से विभाजित करें)।
• प्रत्येक नमूना मान से परिणामी अंकगणितीय माध्य घटाएं।
• परिणामी अंतरों का वर्ग करें।

फिर इन वर्गों को जोड़कर और संख्या से विभाजित करके उनके अंकगणितीय माध्य की गणना की जाती है। अंतिम परिणाम विचरण है, जिससे आप वर्गमूल लेकर मानक विचलन प्राप्त कर सकते हैं।

विचरण के माध्यम से मानक विचलन की गणना करने का एक उदाहरण

आइए एक ऐसी स्थिति पर विचार करें जहां आपको 5 मानों की डेटा श्रृंखला में मानक विचलन खोजने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, पाँच लंबाई से: 600, 470, 170, 430 और 300 सेंटीमीटर। सबसे पहले, हम उनका अंकगणितीय माध्य निर्धारित करते हैं:

• (600 + 470 + 170 + 430 + 300) / 5 = 394.

फिर हम बारी-बारी से पांच मानों में से प्रत्येक के लिए लंबाई विचलन की गणना करते हैं:

• 600 − 394 = 206.
• 470 − 394 = 76.
• 170 - 394 = -224.
• 430 − 394 = 36.
• 300 - 394 = -94.

इन परिणामों के साथ, आप भिन्नता निर्धारित कर सकते हैं:

• (2062 + 762 + (−224) × 2 + 362 + (−94) × 2) / 5 = 21704.

तदनुसार, सिग्मा (σ) अक्षर द्वारा दर्शाया गया मानक विचलन, एक चरण में विचरण से पाया जाता है:

• σ = √21704 = 147.32.

चूंकि पांच लंबाई का अंकगणितीय माध्य 394 सेंटीमीटर है, इसलिए उनके लिए सामान्य (असामान्य नहीं) मान 147.32 ऊपर और नीचे की सीमा में मान होंगे। यानी 246.68 से 541.32 तक.

इस प्रकार, पांच मानों की एक श्रृंखला में, हम दो विसंगतियों का पता लगाते हैं: 600 और 170 सेंटीमीटर। वे अंतराल 246.68-541.32 के अंतर्गत नहीं आते हैं और इस सरणी की विशेषता नहीं बता सकते।

चयन के साथ कार्य करना

पिछले उदाहरण में, हमने मानों की एक सीमित संख्या पर विचार किया था, लेकिन नमूने के लिए गणना अलग दिखती है। यदि हम सरणी से लिए गए नमूना मानों से भिन्नता पर विचार करते हैं, तो हमें उनके योग को संख्या (n) से नहीं, बल्कि n−1 से विभाजित करने की आवश्यकता है। समान पांच लंबाई लेने पर, हमें निम्नलिखित परिणाम मिलता है:

• (2062 + 762 + (−224) × 2 + 362 + (−94) × 2) / (5 - 1) = 27130.

27130 का मान 21704 से बहुत बड़ा है, इसलिए मानक विचलन व्यापक श्रेणी में होगा:

• σ = √27130 = 164.71.

विचरण की गणना करते समय, हर में से एक को सुधार के लिए घटा दिया जाता है, क्योंकि हम सरणी के सभी मूल्यों को नहीं जानते हैं और केवल इसके अलग नमूने के साथ काम करते हैं।

मानक विचलन का उपयोग क्यों किया जाता है

पहली नज़र में, मूल्यों का औसत प्रसार प्राप्त करना बहुत आसान हो सकता है जब उन्हें जोड़कर और संख्या से विभाजित करके भिन्नता की गणना की जाती है (मॉड्यूल के साथ या बिना)। लेकिन इस मामले में, विसंगतियों के घटित होने की संभावना अधिक है। आइए एक उदाहरणात्मक उदाहरण पर विचार करें जो COEX के महत्व पर जोर देता है।

दिया गया है: चार सरणी मान: 4, −4, −4, और 4. कार्य: इन मानों का मानक विचलन निर्धारित करें।

यदि हम उन्हें जोड़ें और संख्या से विभाजित करें, तो हमें शून्य का मान प्राप्त होता है:

• (4 + 4 − 4 − 4) / 4 = 0.

आइए उनके पूर्ण मान (मॉड्यूल) लेने का प्रयास करें, और हमें निम्नलिखित मिलता है:

• (4 + 4 + |−4| + |−4|) / 4 = 4.

उत्तर इतना सरल है कि यह सत्य नहीं है, इसलिए जांचने के लिए, आइए बहुत बड़े प्रसार के साथ संख्याओं की एक श्रृंखला लें: 7, 1, -6 और -2। हम उनके मॉड्यूल जोड़ते हैं, संख्या से विभाजित करते हैं और वही परिणाम प्राप्त करते हैं:

• (7 + 1 + |−6| + |−2|) / 4 = 4.

विसंगति (असंगतता) नग्न आंखों से दिखाई देती है, इसलिए हम एक सिद्ध उपकरण लेते हैं - मानक विचलन, जिसका अर्थ न केवल जोड़ और विभाजन है, बल्कि वर्ग बनाना और मूल निष्कर्षण भी है:

• σ = √((42 + 42 + (−4) × 2 + (−4) × 2) / 4 = 4.
• σ = √((72 + 12 + (−6) × 2 + (−2) × 2) / 4 = 4.74.

अब अंतर दिखाई दे रहा है, और दो डेटा सरणियों में मूल्यों का प्रसार, जो एक प्राथमिकता समान नहीं हो सकता है, दृश्यमान रूप से प्रदर्शित होता है। इसी कारण से - विश्वसनीयता और उच्च सटीकता के कारण - कि सरणियों और नमूनों की गिनती करते समय और अनुसंधान के विभिन्न क्षेत्रों में मानक विचलन को प्राथमिकता दी जाती है।

जहां मानक विचलन लागू होता है

अक्सर, मानक विचलन का उपयोग अर्थशास्त्र और उत्पादन के क्षेत्र में किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप कुछ सामग्रियों के साथ काम करने वाले उद्यम को लेते हैं, तो उनकी संख्या कभी भी समान नहीं होगी।

अर्थात, वास्तविक मात्रा हमेशा अपेक्षित से भिन्न होगी: अंतराल में जिसे आरएमएस का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। अपेक्षित/मानक मात्रा से विचलन कई कारकों के कारण हो सकता है:

• सामग्री क्षति;
• उनकी निम्न गुणवत्ता (विवाह);
• गलत माप;
• टूटी हुई तकनीक;
• सामग्री का अंडरऑर्डर या ओवरऑर्डर;
• कर्मचारियों की कमी;
• माप की गलत इकाइयों का उपयोग करना।

संयोजन में, ये कारक इस तथ्य को जन्म दे सकते हैं कि कंपनी वास्तव में अपने निपटान में है, उदाहरण के लिए, अपेक्षित 100 टन सामग्री नहीं, बल्कि 83 टन या 110 टन। और इस प्रसार को पहले से निर्धारित किया जा सकता है - मानक विचलन की गणना की विधि का उपयोग करके।

यही बात उन अन्य क्षेत्रों पर भी लागू होती है जहां COEX का उपयोग किया जाता है: खेल प्रतियोगिताएं, जनमत सर्वेक्षण, जैविक अनुसंधान, वित्तीय गणना, इत्यादि। खरीद/बिक्री और ओवरहेड भिन्नता, सामग्री भिन्नता, श्रम भिन्नता, दक्षता भिन्नता - ये सभी विश्लेषण आरएमएस का उपयोग करते हैं।

यदि पहले ऐसी गणनाएँ मैन्युअल रूप से (या गणना मशीनों पर) की जाती थीं, तो आज यह कार्य कंप्यूटर प्रौद्योगिकी को सौंपा गया है, जो एक सेकंड के एक अंश में मानक विचलन निर्धारित करता है।