محاسبه‌گر انحراف معیار

در مطالعات آماری، اغلب از مقداری مانند انحراف معیار (RMS) استفاده می شود. این به شما امکان می دهد تا با دقت بالا میزان گسترش مقادیر نمونه را از میانگین آن تعیین کنید.

روش اصلی محاسبه جذر واریانس است. پراکندگی چیست؟ طبق تعریف، این میانگین حسابی انحرافات مجذور است. می توانید واریانس را به این صورت پیدا کنید:

• میانگین حسابی نمونه داده شده را محاسبه کنید (مقادیر آنها را جمع کنید و بر عدد تقسیم کنید).
• میانگین حسابی حاصل را از هر یک از مقادیر نمونه کم کنید.
• تفاوت های حاصل را مربع کنید.

سپس میانگین حسابی این مربع ها با جمع آنها و تقسیم بر عدد محاسبه می شود. نتیجه نهایی واریانس است که می توانید با گرفتن جذر انحراف معیار را از آن بدست آورید.

نمونه ای از محاسبه انحراف معیار از طریق واریانس

بیایید وضعیتی را در نظر بگیریم که در آن باید انحراف استاندارد را در یک آرایه داده با 5 مقدار پیدا کنید. به عنوان مثال، از پنج طول: 600، 470، 170، 430 و 300 سانتی متر. ابتدا میانگین حسابی آنها را تعیین می کنیم:

• (600 + 470 + 170 + 430 + 300) / 5 = 394.

سپس انحراف طول را برای هر یک از پنج مقدار به ترتیب محاسبه می‌کنیم:

• 600 − 394 = 206.
• 470 − 394 = 76.
• 170 - 394 = -224.
• 430 − 394 = 36.
• 300 - 394 = -94.

با این نتایج، می توانید واریانس را تعیین کنید:

• (2062 + 762 + (224-) × 2 + 362 + (94-) × 2) / 5 = 21704.

بر این اساس، انحراف معیار، که با حرف سیگما (σ) مشخص می شود، از واریانس در یک مرحله پیدا می شود:

• σ = √21704 = 147.32.

از آنجایی که میانگین حسابی پنج طول 394 سانتی متر است، مقادیر نرمال (نه غیر عادی) برای آنها مقادیری در محدوده 147.32 بالا و پایین خواهد بود. یعنی از 246.68 تا 541.32.

بنابراین، در یک آرایه از پنج مقدار، ما دو ناهنجاری را تشخیص می دهیم: 600 و 170 سانتی متر. آنها در بازه 246.68-541.32 قرار نمی گیرند و نمی توانند این آرایه را مشخص کنند.

کار با انتخاب‌ها

در مثال قبلی، تعداد محدودی از مقادیر را در نظر گرفتیم، اما محاسبه برای نمونه متفاوت به نظر می‌رسد. اگر واریانس مقادیر نمونه گرفته شده از آرایه را در نظر بگیریم، باید مجموع آنها را نه بر عدد (n)، بلکه بر n-1 تقسیم کنیم. با گرفتن همان پنج طول، نتیجه زیر را دریافت می کنیم:

• (2062 + 762 + (224-) × 2 + 362 + (94-) × 2) / (5 - 1) = 27130.

مقدار 27130 بسیار بزرگتر از 21704 است، بنابراین انحراف استاندارد در محدوده وسیع تری خواهد بود:

• σ = √27130 = 164.71.

هنگام محاسبه واریانس، یک مخرج برای تصحیح کم می شود، زیرا ما همه مقادیر آرایه را نمی دانیم و فقط با نمونه جداگانه آن کار می کنیم.

چرا انحراف معیار استفاده می شود

در نگاه اول، به دست آوردن میانگین گسترش مقادیر می تواند هنگام محاسبه واریانس با جمع آنها و تقسیم بر عدد (با یا بدون ماژول) بسیار آسان تر باشد. اما در این حالت احتمال بروز ناهنجاری زیاد است. بیایید یک مثال گویا را در نظر بگیریم که بر اهمیت COEX تأکید دارد.

داده شده: چهار مقدار آرایه: 4، -4، -4، و 4. وظیفه: انحراف استاندارد این مقادیر را تعیین کنید.

اگر فقط آنها را جمع کرده و بر عدد تقسیم کنیم، مقدار صفر به دست می‌آید:

• (4 + 4 − 4 − 4) / 4 = 0.

بیایید سعی کنیم مقادیر مطلق آن‌ها (ماژول‌ها) را بگیریم و موارد زیر را دریافت می‌کنیم:

• (4 + 4 + |−4| + |−4|) / 4 = 4.

پاسخ برای درست بودن خیلی ساده است، بنابراین برای بررسی، بیایید آرایه ای از اعداد را با گسترش بسیار بزرگتر در نظر بگیریم: 7، 1، -6 و -2. ماژول‌های آن‌ها را اضافه می‌کنیم، بر عدد تقسیم می‌کنیم و همان نتیجه را می‌گیریم:

• (7 + 1 + |-6| + |-2|) / 4 = 4.

این ناهنجاری (ناهماهنگی) با چشم غیرمسلح قابل مشاهده است، بنابراین ما یک ابزار اثبات شده را انتخاب می کنیم - انحراف استاندارد، که نه تنها به جمع و تقسیم، بلکه به مربع و استخراج ریشه نیز اشاره دارد:

• σ = √((42 + 42 + (-4) × 2 + (-4) × 2) / 4 = 4.
• σ = √((72 + 12 + (-6) × 2 + (-2) × 2) / 4 = 4.74.

اکنون تفاوت قابل مشاهده است و گسترش مقادیر در دو آرایه داده که پیشینی نمی تواند یکسان باشد، به صورت بصری نمایش داده می شود. به همین دلیل - به دلیل قابلیت اطمینان و دقت بالا - انحراف معیار هنگام شمارش آرایه ها و نمونه ها و در زمینه های مختلف تحقیقاتی ترجیح داده می شود.

جایی که انحراف معیار اعمال می شود

اغلب، انحراف معیار در زمینه‌های اقتصاد و تولید استفاده می‌شود. برای مثال، اگر شرکتی را انتخاب کنید که با مواد خاصی کار می کند، تعداد آنها هرگز یکسان نخواهد بود.

یعنی، مقدار واقعی همیشه با مقدار مورد انتظار متفاوت است: در فاصله زمانی که می توان با استفاده از RMS تعیین کرد. انحراف از کمیت مورد انتظار/استاندارد می تواند ناشی از عوامل متعددی باشد:

• خسارت مادی؛
• کیفیت پایین آنها (ازدواج)؛
• اندازه گیری های نادرست؛
• تکنیک شکسته؛
• کمتر یا بیش از حد مواد؛
• کمبود کارکنان؛
• استفاده از واحدهای اندازه گیری نادرست.

در مجموع، این عوامل می تواند منجر به این واقعیت شود که شرکت واقعاً در اختیار دارد، به عنوان مثال، نه 100 تن مواد مورد انتظار، بلکه 83 تن یا 110 تن. و این گسترش را می توان از قبل تعیین کرد - با استفاده از روش محاسبه انحراف استاندارد.

همین امر در مورد سایر حوزه‌هایی که از COEX استفاده می‌شود صدق می‌کند: مسابقات ورزشی، نظرسنجی‌ها، تحقیقات بیولوژیکی، محاسبات مالی و غیره. واریانس خرید/فروش و سربار، واریانس مواد، واریانس نیروی کار، واریانس بازده - همه این تحلیل‌ها از RMS استفاده می‌کنند.

اگر قبلاً چنین محاسباتی به صورت دستی (یا روی ماشین‌های محاسبه‌گر) انجام می‌شد، امروزه این وظیفه به فناوری رایانه اختصاص داده می‌شود که انحرافات استاندارد را در کسری از ثانیه تعیین می‌کند.