Υπολογιστής τυπικής απόκλισης

Σε στατιστικές μελέτες, χρησιμοποιείται συχνά μια τιμή όπως η τυπική απόκλιση (RMS). Σας επιτρέπει να προσδιορίσετε με υψηλή ακρίβεια την εξάπλωση των τιμών του δείγματος από τον μέσο όρο του.

Η κύρια μέθοδος υπολογισμού είναι η λήψη της τετραγωνικής ρίζας της διακύμανσης. Τι είναι η διασπορά; Εξ ορισμού, αυτός είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των τετραγωνικών αποκλίσεων. Μπορείτε να βρείτε τη διακύμανση ως εξής:

• Υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο όρο του δεδομένου δείγματος (προσθέστε τις τιμές τους και διαιρέστε με τον αριθμό).
• Αφαιρέστε τον αριθμητικό μέσο όρο που προκύπτει από καθεμία από τις τιμές του δείγματος.
• Τετραγωνίστε τις προκύπτουσες διαφορές.

Στη συνέχεια, ο αριθμητικός μέσος όρος αυτών των τετραγώνων υπολογίζεται προσθέτοντάς τα και διαιρώντας με τον αριθμό. Το τελικό αποτέλεσμα είναι η διακύμανση, από την οποία μπορείτε να λάβετε την τυπική απόκλιση παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα.

Ένα παράδειγμα υπολογισμού της τυπικής απόκλισης μέσω της διακύμανσης

Ας εξετάσουμε μια κατάσταση όπου πρέπει να βρείτε την τυπική απόκλιση σε έναν πίνακα δεδομένων 5 τιμών. Για παράδειγμα, από πέντε μήκη: 600, 470, 170, 430 και 300 εκατοστά. Αρχικά, προσδιορίζουμε τον αριθμητικό μέσο όρο τους:

• (600 + 470 + 170 + 430 + 300) / 5 = 394.

Στη συνέχεια υπολογίζουμε την απόκλιση μήκους για καθεμία από τις πέντε τιμές με τη σειρά:

• 600 − 394 = 206.
• 470 − 394 = 76.
• 170 - 394 = -224.
• 430 − 394 = 36.
• 300 - 394 = -94.

Με αυτά τα αποτελέσματα, μπορείτε να προσδιορίσετε τη διακύμανση:

• (2062 + 762 + (−224) × 2 + 362 + (−94) × 2) / 5 = 21704.

Συνεπώς, η τυπική απόκλιση, που συμβολίζεται με το γράμμα σίγμα (σ), βρίσκεται από τη διακύμανση σε ένα βήμα:

• σ = √21704 = 147,32.

Δεδομένου ότι ο αριθμητικός μέσος όρος των πέντε μηκών είναι 394 εκατοστά, οι κανονικές (όχι μη φυσιολογικές) τιμές για αυτά θα είναι τιμές στην περιοχή 147,32 προς τα πάνω και προς τα κάτω. Δηλαδή, από 246,68 έως 541,32.

Έτσι, σε έναν πίνακα πέντε τιμών, ανιχνεύουμε δύο ανωμαλίες: 600 και 170 εκατοστά. Δεν εμπίπτουν στο διάστημα 246.68-541.32 και δεν μπορούν να χαρακτηρίσουν αυτόν τον πίνακα.

Εργασία με επιλογές

Στο προηγούμενο παράδειγμα, εξετάσαμε έναν πεπερασμένο αριθμό τιμών, αλλά ο υπολογισμός για το δείγμα φαίνεται διαφορετικός. Εάν λάβουμε υπόψη τη διακύμανση από τις τιμές δείγματος που λαμβάνονται από τον πίνακα, πρέπει να διαιρέσουμε το άθροισμά τους όχι με τον αριθμό (n), αλλά με το n−1. Λαμβάνοντας τα ίδια πέντε μήκη, έχουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα:

• (2062 + 762 + (−224) × 2 + 362 + (−94) × 2) / (5 - 1) = 27130.

Η τιμή του 27130 είναι πολύ μεγαλύτερη από το 21704, επομένως η τυπική απόκλιση θα είναι σε μεγαλύτερο εύρος:

• σ = √27130 = 164,71.

Κατά τον υπολογισμό της διακύμανσης, αφαιρείται ένας στον παρονομαστή για διόρθωση, καθώς δεν γνωρίζουμε όλες τις τιμές του πίνακα και δουλεύουμε μόνο με το ξεχωριστό δείγμα του.

Γιατί χρησιμοποιείται η τυπική απόκλιση

Με την πρώτη ματιά, η λήψη της μέσης εξάπλωσης των τιμών μπορεί να είναι πολύ πιο εύκολη κατά τον υπολογισμό της διακύμανσης προσθέτοντάς τις και διαιρώντας με τον αριθμό (με ή χωρίς λειτουργικές μονάδες). Αλλά σε αυτή την περίπτωση, η πιθανότητα εμφάνισης ανωμαλιών είναι υψηλή. Ας εξετάσουμε ένα ενδεικτικό παράδειγμα που τονίζει τη σημασία του COEX.

Δίνονται: Τέσσερις τιμές πίνακα: 4, −4, −4 και 4. Εργασία: Προσδιορίστε την τυπική απόκλιση αυτών των τιμών.

Αν απλώς τα αθροίσουμε και τα διαιρέσουμε με τον αριθμό, θα έχουμε τιμή μηδέν:

• (4 + 4 − 4 − 4) / 4 = 0.

Ας προσπαθήσουμε να πάρουμε τις απόλυτες τιμές τους (ενότητες) και λαμβάνουμε τα εξής:

• (4 + 4 + |−4| + |−4|) / 4 = 4.

Η απάντηση είναι πολύ απλή για να είναι αληθινή, οπότε για να ελέγξουμε, ας πάρουμε έναν πίνακα αριθμών με πολύ μεγαλύτερο spread: 7, 1, -6 και -2. Προσθέτουμε τις ενότητες τους, διαιρούμε με τον αριθμό και παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα:

• (7 + 1 + |−6| + |−2|) / 4 = 4.

Η ανωμαλία (ασυνέπεια) είναι ορατή με γυμνό μάτι, επομένως χρησιμοποιούμε ένα αποδεδειγμένο εργαλείο - την τυπική απόκλιση, η οποία συνεπάγεται όχι μόνο προσθήκη και διαίρεση, αλλά και τετραγωνισμό και εξαγωγή ρίζας:

• σ = √((42 + 42 + (−4) × 2 + (−4) × 2) / 4 = 4.
• σ = √((72 + 12 + (−6) × 2 + (−2) × 2) / 4 = 4,74.

Τώρα η διαφορά είναι ορατή και εμφανίζεται οπτικά η εξάπλωση των τιμών σε δύο πίνακες δεδομένων, οι οποίοι a priori δεν μπορούν να είναι ίδιοι. Για αυτόν τον λόγο - λόγω της αξιοπιστίας και της υψηλής ακρίβειας - προτιμάται η τυπική απόκλιση κατά την καταμέτρηση πινάκων και δειγμάτων και σε διάφορους τομείς έρευνας.

Όπου ισχύει η τυπική απόκλιση

Πιο συχνά, η τυπική απόκλιση χρησιμοποιείται στους τομείς της οικονομίας και της παραγωγής. Για παράδειγμα, εάν πάρετε μια επιχείρηση που εργάζεται με συγκεκριμένα υλικά, ο αριθμός τους δεν θα είναι ποτέ ο ίδιος.

Δηλαδή, η πραγματική ποσότητα θα διαφέρει πάντα από την αναμενόμενη: στο διάστημα που μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας το RMS. Οι αποκλίσεις από την αναμενόμενη/τυπική ποσότητα μπορεί να προκληθούν από διάφορους παράγοντες:

• υλικές ζημιές;
• η χαμηλή τους ποιότητα (γάμος);
• λανθασμένες μετρήσεις,
• σπασμένη τεχνική;
• υπέρταση ή υπέρταση υλικών;
• έλλειψη προσωπικού,
• Χρήση ανακριβών μονάδων μέτρησης.

Σε συνδυασμό, αυτοί οι παράγοντες μπορεί να οδηγήσουν στο γεγονός ότι η εταιρεία έχει πράγματι στη διάθεσή της, για παράδειγμα, όχι τους αναμενόμενους 100 τόνους υλικού, αλλά 83 τόνους ή 110 τόνους. Και αυτή η διαφορά μπορεί να προσδιοριστεί εκ των προτέρων - χρησιμοποιώντας τη μέθοδο υπολογισμού της τυπικής απόκλισης.

Το ίδιο ισχύει και για οποιουσδήποτε άλλους τομείς όπου χρησιμοποιείται το COEX: αθλητικοί αγώνες, δημοσκοπήσεις, βιολογική έρευνα, οικονομικοί υπολογισμοί κ.λπ. Διακύμανση αγορών/πωλήσεων και γενικών εξόδων, διακύμανση υλικού, διακύμανση εργασίας, διακύμανση απόδοσης—όλες αυτές οι αναλύσεις χρησιμοποιούν RMS.

Αν παλαιότερα τέτοιοι υπολογισμοί γίνονταν χειροκίνητα (ή σε υπολογιστικές μηχανές), σήμερα αυτή η εργασία έχει ανατεθεί στην τεχνολογία υπολογιστών, η οποία καθορίζει τις τυπικές αποκλίσεις σε κλάσματα του δευτερολέπτου.