Калкулатор за стандартно отклонение

В статистическите изследвания често се използва такава стойност като стандартното отклонение (RMS). Тя ви позволява да определите с висока точност разпространението на стойностите на извадката от нейната средна стойност.

Основният метод за изчисление е извличането на корен квадратен от дисперсията. Какво е дисперсия? По дефиниция това е средноаритметичното на квадратите на отклоненията. Можете да намерите дисперсията по следния начин:

• Изчислете средноаритметичната стойност на дадената извадка (съберете стойностите им и разделете на числото).
• Извадете получената средна аритметична стойност от всяка от пробните стойности.
• Поставете на квадрат получените разлики.

След това средноаритметичната стойност на тези квадрати се изчислява чрез събирането им и разделянето на числото. Крайният резултат е дисперсията, от която можете да получите стандартното отклонение, като извадите корен квадратен.

Пример за изчисляване на стандартното отклонение чрез дисперсията

Нека разгледаме ситуация, в която трябва да намерите стандартното отклонение в масив от данни от 5 стойности. Например от пет дължини: 600, 470, 170, 430 и 300 сантиметра. Първо определяме тяхната средна аритметична стойност:

• (600 + 470 + 170 + 430 + 300) / 5 = 394.

След това изчисляваме отклонението на дължината за всяка от петте стойности на свой ред:

• 600 − 394 = 206.
• 470 − 394 = 76.
• 170 - 394 = -224.
• 430 − 394 = 36.
• 300 - 394 = -94.

С тези резултати можете да определите дисперсията:

• (2062 + 762 + (−224) × 2 + 362 + (−94) × 2) / 5 = 21704.

Съответно стандартното отклонение, означено с буквата сигма (σ), се намира от дисперсията в една стъпка:

• σ = √21704 = 147,32.

Тъй като средноаритметичната стойност на пет дължини е 394 сантиметра, нормалните (не необичайни) стойности за тях ще бъдат стойности в диапазона от 147,32 нагоре и надолу. Тоест от 246,68 до 541,32.

По този начин в масив от пет стойности откриваме две аномалии: 600 и 170 сантиметра. Те не попадат в интервала 246.68-541.32 и не могат да характеризират този масив.

Работа със селекции

В предишния пример разгледахме краен брой стойности, но изчислението за извадката изглежда различно. Ако вземем предвид дисперсията от примерните стойности, взети от масива, трябва да разделим сумата им не на числото (n), а на n−1. Като вземем същите пет дължини, получаваме следния резултат:

• (2062 + 762 + (−224) × 2 + 362 + (−94) × 2) / (5 - 1) = 27130.

Стойността на 27130 е много по-голяма от 21704, така че стандартното отклонение ще бъде в по-широк диапазон:

• σ = √27130 = 164,71.

При изчисляване на дисперсията, една в знаменателя се изважда за корекция, тъй като не знаем всички стойности на масива и работим само с неговата отделна извадка.

Защо се използва стандартното отклонение

На пръв поглед получаването на средното разпространение на стойностите може да бъде много по-лесно при изчисляване на дисперсията, като ги добавите и разделите на числото (със или без модули). Но в този случай вероятността от поява на аномалии е висока. Нека разгледаме илюстративен пример, който подчертава важността на COEX.

Дадено: Четири стойности на масива: 4, −4, −4 и 4. Задача: Определете стандартното отклонение на тези стойности.

Ако просто ги съберем и разделим на числото, получаваме стойност нула:

• (4 + 4 − 4 − 4) / 4 = 0.

Нека се опитаме да вземем техните абсолютни стойности (модули) и ще получим следното:

• (4 + 4 + |−4| + |−4|) / 4 = 4.

Отговорът е твърде прост, за да е истина, така че за да проверим, нека вземем масив от числа с много по-голямо разпространение: 7, 1, -6 и -2. Събираме техните модули, разделяме на числото и получаваме същия резултат:

• (7 + 1 + |−6| + |−2|) / 4 = 4.

Аномалията (несъответствието) се вижда с невъоръжено око, така че ние използваме доказан инструмент - стандартното отклонение, което предполага не само събиране и деление, но и повдигане на квадрат и извличане на корен:

• σ = √((42 + 42 + (−4) × 2 + (−4) × 2) / 4 = 4.
• σ = √((72 + 12 + (−6) × 2 + (−2) × 2) / 4 = 4,74.

Сега разликата е видима и разпределението на стойностите в два масива от данни, които a priori не могат да бъдат еднакви, се показва визуално. Поради тази причина - поради надеждността и високата точност - стандартното отклонение е предпочитано при преброяване на масиви и проби и в различни области на изследване.

Къде се прилага стандартното отклонение

Най-често стандартното отклонение се използва в областта на икономиката и производството. Например, ако вземете предприятие, работещо с определени материали, техният брой никога няма да бъде същият.

Тоест действителното количество винаги ще се различава от очакваното: в интервала, който може да бъде определен с помощта на RMS. Отклоненията от очакваното/стандартното количество могат да бъдат причинени от редица фактори:

• материални щети;
• ниското им качество (брак);
• неправилни измервания;
• счупена техника;
• подредени или свръхпоръчани материали;
• липса на персонал;
• Използване на неточни мерни единици.

В комбинация тези фактори могат да доведат до факта, че компанията действително има на свое разположение например не очакваните 100 тона материал, а 83 тона или 110 тона. И този спред може да бъде определен предварително - като се използва методът за изчисляване на стандартното отклонение.

Същото се отнася за всички други области, в които се използва COEX: спортни състезания, проучвания на общественото мнение, биологични изследвания, финансови изчисления и т.н. Разлика в покупките/продажбите и режийните разходи, разликата в материала, работната сила, ефективността – всички тези анализи използват RMS.

Ако по-рано подобни изчисления са се извършвали ръчно (или на изчислителни машини), днес тази задача е възложена на компютърната технология, която определя стандартните отклонения за части от секундата.